Frater Ignatius
En su forma más sencilla, la hipótesis del continuo sostiene que no existe ningún conjunto cuyo cardinal sea mayor que el del conjunto de los números naturales y menor que el de los números reales. Los números transfinitos de Cantor hacen referencia a la contabilización de números en todas sus formas. Por ejemplo, Alef 0 da cuenta de la cantidad de números enteros. Los números enteros son infinitos. Así pasa con los números racionales (fracciones), y los números irracionales (raíz cuadrada de 2), el número infinito de irracionales es superior al número infinito de racionales y números enteros. Existen más números reales (incluyen a los racionales e irracionales) que números enteros. Para indicar la diferencia anterior, los matemáticos aseveran que los infinitos racionales o enteros se les represente con aleph 0 y al número infinito de irracionales o reales con C. Existe una relación simple entre estos dos. Se puede afirmar que C=2 elevado al aleph 0. C es la cardinalidad del conjunto de números reales y en ocasiones se denomina el continuo.
Dentro de los planteamientos en matemáticas puras, los especialistas contemplan infinitos superiores, simbolizados por aleph 1, aleph 2, etc. En este punto, el símbolo de la teoría de conjuntos aleph 1 representa al menor conjunto infinito superior a aleph 0. La hipótesis del continuo de Georg Cantor establece que C= aleph 1 = 2 elevado a la aleph 0. No obstante si C equivale verdaderamente o no a aleph 1, se considera indecidible en la teoría de conjuntos que tratamos ahora. Los grandes matemáticos como Kurt Gödel demostraron en aquel momento que la hipótesis era consistente con los axiomas estándares de la teoría de conjuntos. Empero, en 1963, el matemático estadounidense Paul Cohen demostró que también era consistente asumir que la hipótesis del continuo es falsa.
“Durante el último decenio se han obtenido resultados muy interesantes en la dirección de investigar si realmente es indecidible la hipótesis del continuo y uno de los principales artífices es Hugh Woodin, matemático de la Universidad de Harvard. Woodin está convencido de que es posible solucionar el misterio de la hipótesis del continuo, es decir, que esta suposición puede ser verdadera o falsa, pero no «indecidible». Y esta idea lo llevó a proponer y desarrollar dos programas de investigación opuestos.
El primero de ellos pretendía establecer que la hipótesis del continuo es falsa, como creía Woodin hace quince años. Pero luego cambió de opinión e inició un segundo programa de investigación, articulado alrededor del concepto que denomina «L último» y que, según él, conducirá a una solución satisfactoria y definitiva de los principales enigmas que plantea el infinito”. (fuente Investigación y ciencia). Estamos a la espera de una demostración satisfactoria.
