Frater Ignatius
En la entrega anterior, hablamos de Evariste Galois. Comentamos sobre su lado anarquista, tema toral que nos ocupa. Empero, en este punto, es necesario dar a conocer aunque sea de forma sucinta, la aportación más importante del matemático francés, es decir, su Teoría. Para ello hizo uso de unas demostraciones realmente asombrosas. Repasaremos brevemente este milagro.
La imaginación y la inventiva son parte de este genio de los números. Demostró que todas las ecuaciones contienen implícitamente su propio “espíritu simétrico”. Lo anterior significa un grupo de permutaciones que representan las propiedades simétricas de la ecuación. Galois descubrió que la simetría era más importante que el grado de las ecuaciones. Clasificar las ecuaciones por su grado es análogo a agrupar ciertos bloques para construir algo de acuerdo con su tamaño. Lo que hace Galois es demostrar que la forma (cuadrada, redonda, ovalada, etc.) es más que el tamaño en términos cualitativos y es de carácter fundamental. En directo quiere decir que el grupo de Galois de una ecuación es el mayor grupo de permutaciones de las soluciones posibles que deja sin cambio los valores de ciertas combinaciones de tales soluciones. Demostró el galo que en cualquier grado hay ecuaciones que poseen la máxima simetría posible
Una vez introducido el concepto de subgrupo, definió también un subgrupo normal. Con lo anterior procedió a realizar casi lo imposible. Utilizó todos los recursos de su poderoso cerebro para contestar la siguiente pregunta: ¿Qué tiene que hacer una ecuación para ser resuelta mediante una fórmula?
Galois demostró que para que las ecuaciones se resolvieran mediante una fórmula, tienen que tener un grupo de Galois de un tipo muy especial. Se le llama resoluble si todos los factores de composición generados por sus máximos subgrupos normales descendientes es un número primo. Llegó a este grandioso principio: “La condición para que una ecuación sea resoluble mediante una fórmula es que el grupo de Galois sea resoluble”. Yendo a la médula de estos asuntos, Galois fue capaz de demostrar que cuando su grupo de una ecuación es resoluble, el proceso de solución de una ecuación puede ser descompuesto en pasos más simples, cada uno de los cuales solo conlleva la solución de ecuación de menor grado.
Pero en el caso de S5, como grupo no es resoluble porque uno de los factores de composición no es un número primo. En concreto es el número 60, tan querido por los babilonios. La ecuación de quinto grado no cumple con el requisito de la formación de factores con números primos. Esto definitivamente satisfacía la demostración de que la ecuación general de quinto grado y superiores no son resolubles mediante una fórmula. Así se resolvía uno de los problemas más acuciantes de toda la historia de la matemática. Galois inventó toda una rama nueva de las matemáticas y que 200 años después sigue totalmente vigente y vigorosa. Se identifica así la simetría como un fundamento de las propiedades más importantes de las ecuaciones.
Lo que acabamos de ver muy brevemente puede parecer decepcionante a los ojos de carácter trivial. Es decir, concluir sobre la irresolubilidad de la ecuación de quinto grado por medio de una fórmula puede ser deprimente. Sin embargo, de manera paradójica, ha conducido a verdaderas perlas. La búsqueda de Galois de una solución a la ecuación de quinto grado, concluye con el supremo arte de la abstracción matemática: la teoría de grupos.
La teoría de grupos es la lengua franca de todas las simetrías. El papel de las permutaciones en la teoría de grupos es relevante. No obstante, este tema rebasa las nimias pretensiones de este minúsculo artículo. Contentémonos con entender o al menos intuir que Galois en las matemáticas es como un Einstein en la física. De ese tamaño es la contribución de esta singularidad humana.
