Frater Ignatius
Este interesante objeto fractal fue señalado por el matemático austriaco Karl Menger en 1926. Podemos construir la esponja, partiendo de un cubo generador y lo subdividimos en 27 cubos iguales más pequeños. Lo que hacemos es quitar el cubo del centro y los seis cubos que comparten caras con él. Restan 20 cubos. Seguimos repitiendo la tarea con el resto de los cubos hasta el infinito. El número de cubos se incrementa en 20 a la n, donde n es el número de iteraciones realizadas en el cubo madre. Una segunda repetición nos da 400 cubos y en el momento en que llegamos a una séptima iteración, ¡tenemos la fabulosa cantidad de 1280000000 de cubos!
La esponja de Menger resulta en una generalización tridimensional de la alfombra de Sierpinski. Las antenas obtenidas a partir de la mágica alfombra suelen utilizarse como receptores de señales electromagnéticas. Una generalización en dos dimensiones del conjunto de Cantor. Tanto las alfombras como su generalización en cubos en su totalidad muestras unas propiedades geométricas increíbles. Por ejemplo, la esponja tiene una superficie infinita y al mismo tiempo encierra un volumen cero o que tiende a cero.
Estamos acostumbrados a pensar en que los objetos tienen un número entero de dimensiones. Una recta tiene una dimensión. Un cuadrado tiene dos y un cubo tres. Empero, los objetos fractales pueden tener un número fraccionario de dimensiones. La alfombra de Sierpinski tiene 1.8927 de dimensión mayor a la de una recta pero menor a la de una superficie plana cualquiera.
Ahora reflexionemos sobre el infinito. Todo esto está evidentemente relacionado con el maestro del concepto quien es Georg Cantor. También con sus conjuntos y con los infinitos más grandes que otros infinitos. Y podemos pensar en la inutilidad de estas elucubraciones matemáticas pero estaremos equivocados. Por paradójico que parezca, lejos de ser tan solo un espejismo o un juego con las formas y los números, estas estructuras fractales tienen importantes aplicaciones prácticas. Los fractales y su estructura interna dada en números nos ayudan a modelar el tráfico en redes de comunicaciones, a comprimir todo tipo de señales en audio y video, a entender la forma en que crecen los tejidos o evolucionan determinadas poblaciones, al entendimiento de la estructura del cerebro, en la genética, en la inteligencia artificial, en el estudio de la imagen, en la creación o simulación de tierras y universos, entre muchos otros. Además, permiten expandir nuestro entendimiento en el campo de la autoreflexión matemática y específicamente topológica.
